Montrer que la Topologie produit est la topologie initiale associée aux projections.

Les projections sont continues pour la topologie produit ok.

Inversement, toute topologie qui rend les projections continues contient les ouverts élémentaires.

On conclut en disant que les ouverts élémentaires engendrent la topologie produit.

Montrer que la topologie initiale est la topologie engendrée par : $$A=\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(U)\mid U\in\tau_i\}$$

En utilisant la définition de la continuité (image réciproque d'un ouvert est un ouvert), on montre que la topologie initiale est \(\tau(A)\).

Montrer que la topologie initiale pour une seule fonction est donnée par :$$\tau=\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(U)\mid U\in\tau_i\}$$

Les axiomes se vérifient très rapidement.